Les mathématiciens ont découvert un nouvel élément de preuve important pour l'une des idées les plus célèbres non prouvées en mathématiques, connue sous le nom de conjecture jumelle première. Mais la route qu'ils ont empruntée pour trouver ces preuves n'aidera probablement pas à prouver la conjecture jumelle principale elle-même.
La conjecture du premier jumeau consiste à savoir comment et quand les nombres premiers - des nombres qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et 1 - apparaissent sur la droite numérique. Les "nombres premiers jumeaux" sont des nombres premiers qui sont à deux pas l'un de l'autre sur cette ligne: 3 et 5, 5 et 7, 29 et 31, 137 et 139, et ainsi de suite. La conjecture des nombres premiers jumeaux indique qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, et que vous continuerez à les rencontrer, peu importe jusqu'où vous descendez. Il indique également qu'il existe une infinité de paires principales avec toutes les autres lacunes possibles entre elles (paires principales séparées de quatre étapes, de huit étapes, de 200 000 pas, etc.). Les mathématiciens sont presque sûrs que c'est vrai. Il semble que c'est vrai. Et si ce n'était pas vrai, cela signifierait que les nombres premiers ne sont pas aussi aléatoires que tout le monde le pensait, ce qui gâcherait beaucoup d'idées sur la façon dont les nombres fonctionnent en général. Mais personne n'a jamais pu le prouver.
Ils pourraient cependant être plus proches que jamais auparavant. Dans un article publié le 12 août dans la revue de préimpression arXiv, comme Quanta l'a signalé pour la première fois, deux mathématiciens ont prouvé que la double conjecture principale est vraie - au moins dans une sorte d'univers alternatif.
C'est ce que font les mathématiciens: travailler vers de grandes preuves en prouvant des idées plus petites en cours de route. Parfois, les leçons tirées de ces petites preuves peuvent aider avec la plus grande preuve.
Dans ce cas, les mathématiciens Will Sawin de l'Université de Columbia et Mark Shusterman de l'Université du Wisconsin ont prouvé une version de la conjecture principale double pour l'univers alternatif des "champs finis": des systèmes numériques qui ne vont pas à l'infini comme la droite numérique, mais au lieu de cela reboucler sur eux-mêmes.
Vous rencontrez probablement un champ fini tous les jours sur le cadran d'une horloge. Il va de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, puis revient à 1. Dans ce champ fini, 3 + 3 est toujours égal à 6. Mais 3 + 11 = 2.
Les champs finis ont des polynômes, ou des expressions comme "4x" ou "3x + 17x ^ 2-4", a déclaré Sawin à Live Science, tout comme les nombres réguliers. Les mathématiciens, a-t-il dit, ont appris que les polynômes sur des champs finis se comportent un peu comme des entiers - les nombres entiers sur la droite numérique. Les affirmations qui sont vraies sur les entiers ont également tendance à faire confiance aux polynômes sur des champs finis, et vice-versa. Et tout comme les nombres premiers viennent par paires, les polynômes viennent par paires. Par exemple, les jumeaux de 3x + 17x ^ 2-4 sont 3x + 17x ^ 2-2 et 3x + 17x ^ 2-6. Et la bonne chose à propos des polynômes, a déclaré Sawin, c'est que contrairement aux entiers, lorsque vous les tracez sur un graphique, ils créent des formes géométriques. Par exemple, 2x + 1 crée un graphique qui ressemble à ceci:
Et 5x + x ^ 2 crée un graphique qui ressemble à ceci:
Étant donné que les polynômes tracent des formes, plutôt que les points que vous obtenez lorsque vous tracez des nombres premiers individuels, vous pouvez utiliser la géométrie pour prouver des choses sur des polynômes que vous ne pouvez pas prouver sur de simples entiers.
"Nous n'avons pas été les premiers à remarquer que vous pouvez utiliser la géométrie pour comprendre les champs finis", a déclaré Shusterman à Live Science.
D'autres chercheurs ont prouvé des versions plus petites de l'hypothèse des nombres premiers jumeaux sur certains types de polynômes sur des champs finis. Mais la preuve de Sawin et Shusterman obligeait les chercheurs à revenir en arrière et à recommencer à zéro à bien des égards, a déclaré Sawin.
"Nous avons eu une observation qui nous a permis d'effectuer un tour ... qui a rendu la géométrie beaucoup plus agréable pour qu'elle s'applique dans tous ces cas", a déclaré Shusterman.
Cette astuce géométrique, a-t-il déclaré, a conduit à leur percée: prouver que cette version spéciale de la conjecture principale jumelle est vraie pour tous les polynômes sur des champs finis, pas seulement pour certains d'entre eux.
La mauvaise nouvelle, a déclaré Sawin, est que, parce que leur astuce repose fortement sur la géométrie, il ne sera probablement pas possible de l'utiliser pour prouver la conjecture de prime jumelle elle-même. Les mathématiques sous-jacentes sont tout simplement trop différentes.
Pourtant, a déclaré Shusterman, prouver que le cas des champs finis est un nouvel élément de preuve à ajouter à la pile, taquinant les mathématiciens avec la possibilité que la preuve que tout le monde attend soit quelque part.
C'est comme s'ils voulaient voir le sommet d'une haute montagne escarpée, et ont plutôt remonté une autre montagne à proximité. Ils peuvent presque voir le sommet éloigné, mais il est entouré de nuages. Et l'itinéraire qu'ils ont pris pour atteindre le sommet de la deuxième montagne ne fonctionnera probablement pas sur la montagne qui les intéresse vraiment.
Shusterman a déclaré qu'il espérait continuer à travailler avec Sawin sur le problème des nombres premiers jumeaux, et qu'il est toujours possible que quelque chose qu'ils aient appris en faisant cette preuve se révèle être important pour prouver la conjecture du nombre premier jumeaux après tout.
